“一次函数”复习
发布时间:2012-5-27 16:00:34 浏览次数：159
“一次函数”复习
一、本章知识结构梳理
专题一、求字母系数或函数解析式
专题概说：在已知函数解析式中，设置未知的系数，要求该函数是一次函数或具备一次函数的某些性质，据此确定解析式中的未知系数的值或者未知系数的取值范围.求解此类题时，应牢抓一次函数的定义、图象及性质，特别注意容易出错的地方，如系数k≠0，图象经过的象限与k、b的关系等.
例1、函数y=(k－5)x|k|－4＋2是一次函数，求此函数的解析式.
解：
由一次函数的定义，知自变量x的指数等于1，系数不为零，即
专题二、求函数图象与坐标轴围成的三角形面积
专题概说：由于一次函数的图象是直线，所以当它与两坐标轴相交时，可能产生一个三角形，于是就出现了把一次函数与三角形内容相联系的许多问题，大多以考查三角形的周长，面积问题为主.求解此类题时，要多注意利用点的坐标来表示三角形的底与高.
例4、直线y=x＋4和直线y=－x＋4与x轴所围成的三角形的面积是（）
A．32
B．64
C．16
D．8
解：
利用方程组求 则直线y=x＋4与直线y=－x＋4交于点C（0，4）.如图，又因为直线y=x＋4与x轴交于点A（－4，0），直线y=－x＋4与x轴交于点B（4，0），所以S△ABC=
专题三、利用函数图象解方程组、不等式
例5、作出函数y=3x＋1的图象，根据图象，回答：（1）x取什么值时，函数值y大于零？（2）x取什么值时，函数值y小于零？（3）x取什么值时，函数值y小于－2？
解：
函数y=3x＋1的图象如图所示，由图象可知（1）当 时，y<0；（3）当x<－1时，y<－2.
专题四、待定系数
专题概说：待定系数法是求函数解析式的最重要的方法，求解时首先设出函数解析式，再根据已知建立未知系数的方程（组），进而解方程（组）获得未知系数的值，应注意题目中的某些隐含条件的限制作用.
例6、已知直线y=kx＋b过点A（－1，5），且平行于直线y=－x＋2.（1）求直线的解析式；（2）B（m，－5）在这条直线上，O为原点，求m的值及S△AOB.
解：
（1）由两直线平行，得k=－1.易求b=4.所以y=－x＋4；
（2）把B（m，－5）代入y=－x＋4，得m=9.可求y=－x＋4与y轴的交点为C（0，4），则S△AOB=S△ACO＋S△BCO.
所以S= ×9×4=20.如图所示.
专题五、数形结合
专题概说：本章自始自终都是用数形结合的思想方法研究问题，平面直角坐标系的建立是实现数与形转化的重要工具，数形结合使抽象的数形象化、直观化，化数为形，以形思数，常常是解决问题的关键，数形结合思想不仅为分析问题，解决问题提供了有利条件，而且是开发智力、培养能力的重要途径.
例7、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中，使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图所示.（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间之间的函数解析式；（2）请你帮用户计算一下，在一个月内使用哪种卡便宜？
解得
＋29（0≤x≤43200），y2=k2x的图象过点（30，15）.
所以30k2=15.所以k2= （0≤x≤43200）；
（2）当y1=y2时，即 ；
当y1>y2时，即 ，即当x≤96时，y1>y2；
当y1<y2时，即 ，即当x≥97时，y1＜y2.
所以，当通话时间为小于97分钟时，“如意卡”便宜；
当通话时间大于或等于97分钟时，“便民卡”便宜.
专题六、分类讨论
专题概说：在解答某些数学问题时，有时会遇到很多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法，分类讨论是一种重要的数学方法，不重复、不遗漏是对分类的基本要求.
例8、如果一次函数y=kx＋b的自变量x的取值范围是－2≤x≤4，相应函数的范围是－9≤y≤11，求此函数的解析式.
解：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大，一定是当x=－2时，y=－9；
当x=4时，y=11.所以有
所以 解得
.
综上所述两种情况，符合条件的解析式为
专题七、函数思想
专题概说：函数思想就是用运动和变化的观点去观察、分析具体问题中的数量关系，通过函数形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决，在解决问题时，根据问题的条件去构造函数关系，并借助已知函数的性质和图象，获得解决问题的途径.
例9、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月节存12元.小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小张.请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王存款数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？
解：
设小张存款数为y1元，小王存款数为y2元，月份数为t.
则y1=50＋12t，y2=18t.
在同一平面直角坐标系中画出两个系数的图象如图所示.
.∵t为整数，∴t≥9.
由图象可知至少9个月后小王的存款才能超过小张.
综合测试
A卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1、一次函数y=4x，y=－7x， A．图象位于同样的象限
B．y随x的增大而减小
C．y随x的增大而增大
D．图象都过原点
2、已知y－3与x－1成正比例，且x=2时，y=7，则正比例系数k的值是（）
A．4
B．3
C． D．
A．m≤1
B．m≤－1．
C．m>1
D．m<1
4、在下列函数中，y随x的增大而减小的是（）
A． B．y=3x
C．y=2x＋1
D．y=x－1
5、一次函数y=kx＋1，y随x增大而减小，则此一次函数图象不经过的象限是（）
A．一
B．二
C．三
D．四
6、已知直线y=kx＋b(k≠0)与x轴交点在x轴正半轴上，下列结论：（1）k>0，b>0；（2）k>0，b＜0；（3）k<0，b>0；（4）k<0，b<0.其中可能正确的结论的有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7、如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是图中的（）
A． B． C． D．
8、拖拉机开始工作时，油箱中有24升油.如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）与工作时间x（小时）之间的函数解析式和图象是图中的（）
A． B． C． D．
9、函数 A．
B．
C．
D．
A． B． C． D．
[答案]DAAACBBDAB
提示：
2、根据题意，可设y－3=k(x－1)，把x=2时，y=7代入上式，可求出k=4.
3、因为图象不经过第二象限，所以经过一、三、四或一、三象限，即 4、因为y随x增大而减小，所以k<0.
5、因为y随x增大而减小，所以k<0.又因为b=1>0，所以图象经过一、二、四象限.
6、当y=0时，x>0，即 ，即k、b异号.所以选B.
9、由平方根的意义，得2x－1≥0.所以 10、要能正确的识图，y是所需费用，越向上，说明费用越多，再根据题意，此题是个分段函数，以6为分界点，当0≤x≤6时，说明水费是用水量的2倍，在12元以内，而超过6t，每吨价格增加了.因此图象呈比较快的上升趋势.
B卷
二、填空题（每题3分，共18分）
11、函数 的图象在x轴上方，此时x_______.
16、若函数y=ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集为_______.
的图象相交于A和B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是－3.求：
（1）求一次函数的解析式；
（2）当x为何值时，一次函数的函数值小于零？
19、某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的.每日从凌晨4点到8点只进水，不出水；8点到12点既进水又出水；14点至次日凌晨只出水不进水.经测定，水塔中贮水量y(m3)与时间x(h)的函数关系如图所示.
[答案]
11、=2；是任意实数
12、－3； 13、答案：y=2x＋4；0.5
提示：由y=2x＋3，当y=0时，x=－1.5，即y=2x＋3与x轴
交于点（－1.5，0）.由y=2x＋4，当y=0时，x=－2，
即y=2x＋4与x轴交于点（－2，0）.
所以－2－(－1.5)=－0.5.所以直线y=2x＋4是
由直线y=2x＋3向左平移了0.5单位.
14、答案：±12
提示：此题的解决，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标（ ，解得k=±12.
15、答案：>－5
提示：令y=0，则 ，
即y随x的增大而增大，所以，当x>－5时，图象在x轴的上方.
16、答案：x≤2
17、解：
（1）由已知，得b1=0.因为－2k1=－4，k1=2，
所以y1=2x.又由已知，得 解得k2=－1，b2=6.所以y2=－x＋6；
（2）解方程组 （3）令y2=0，得－x＋6=0,x=6.所以点N的坐标为（6，0）.
于是ON=6.又因为ON边上的高为点M的纵坐标，
所以S△MON= （1）点A、B为两函数图象的交点，所以A、B在
图象 所以有
所以一次函数解析式为y=x－1；
（2）令y<0，即x－1<0.所以x<1时，一次函数的函数值小于零.
19、解：
（1）由图可知，4点到8点进水20m3，∴每小时进水量5m3.
（2）当8≤x≤12时，由图知，线段过点（8，25），（12，35）.
设函数解析式为y=kx＋b，则
∴当8≤x≤12时，y与x的函数关系式为y=2.5x＋5.
（3）由（2）得，每小时出水量为2.5m3，
所以x=16时，y=30.
设14≤x≤18时，函数解析式为y=mx＋n，则
∴当14≤x≤18时，y与x的函数关系式为y=－2.5x＋70.
20、解：因为两直线交于（1，m），
所以直线y1=2x过点A（1，m），所以m=2.
直线y2=kx＋b也过A点，所以k＋b=2. ①
直线y2=kx＋b与x轴的交点B为（ 所以
-END-